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面向 AP、CIE IGCSE、Cambridge A-Level、IB、竞赛拓展与自主学习的一站式物理知识体系。每个单元会把官方 topic 结构、学习重点、重点公式和原创示意图连接起来。

代数基础

AP 物理 1

8 个单元 · 43 个知识点

College Board 官方课程与考试说明

用图像、矢量和微积分关系连接位置、速度与加速度。

重点知识点

  • 区分标量、矢量、分量与参考系。
  • 解释位置、速度、加速度图像的斜率和面积。
  • 通过分解水平和竖直分量分析斜抛运动。
  • 用矢量分量建立一维和二维运动模型。

完整知识点清单

1.1一维标量与矢量
1.2位移、速度与加速度
1.3运动的表示方法
1.4参考系与相对运动
1.5二维运动中的矢量

专题讲义

Unit 1 Studio Map: 运动学

AP 物理 1 Unit 1 学习路线图:为什么要学运动模型、知识点如何连接,以及图像、矢量和测量如何描述运动。

0. 学习动机

跑者冲过终点、小车沿斜面下滑、小球在空中飞行、无人机改变高度,都会先引出同一个问题:它在哪里、运动有多快、运动状态如何改变?

这一单元应该像给物理搭建一个 GPS:先选参考系,规定正方向,再用矢量和图像表示运动,最后在文字、方程和测量数据之间互相翻译。

不要从背公式开始。先问:我们怎样描述运动,才能让另一个人准确复原这个运动?
1. 官方知识点路径
  • 1.1 一维标量与矢量:区分只有大小的量,以及还需要方向的量。
  • 1.2 位移、速度与加速度:定义核心运动量,并区分路程/速率与位移/速度。
  • 1.3 运动表示:在运动图、图像、表格和代数模型之间转换。
  • 1.4 参考系与相对运动:说明测量是相对于哪个观察者或坐标系。
  • 1.5 二维运动中的矢量:把运动分解成互相垂直的独立分量,并把斜抛/平抛运动作为 AP 的核心例子。
2. 知识连接与推导逻辑

从坐标系开始。一旦选定正方向和原点,位移就是 Δx=xf−xi\Delta x=x_f-x_i,平均速度就是 vavg=Δx/Δtv_{\mathrm{avg}}=\Delta x/\Delta t,加速度就是速度变化的快慢。

图像不是装饰。xx-tt 图像斜率给速度;vv-tt 图像斜率给加速度;vv-tt 图像下方面积给位移。

二维运动中,先分解矢量,分别处理每个坐标轴,最后再合成。这样抛体运动会始终连接真实轨迹,而不是变成套公式。

不要让 Topic 1.5 只停留在“矢量分解”这句话上。在 AP 物理 1 中,它必须落实为斜抛运动的实用能力:ax=0a_x=0、ay=−ga_y=-g、共同时间 tt,以及水平和竖直方向相互独立的方程。

平均速度

vavg=ΔxΔtv_{\mathrm{avg}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}

平均加速度

aavg=ΔvΔta_{\mathrm{avg}}=\frac{\Delta v}{\Delta t}

匀加速关系

v=v0+at,x=x0+v0t+12at2,v2=v02+2aΔxv=v_0+at,\quad x=x_0+v_0t+\frac12at^2,\quad v^2=v_0^2+2a\Delta x

矢量分量

Ax=Acos⁡θ,Ay=Asin⁡θ,A=Ax2+Ay2A_x=A\cos\theta,\quad A_y=A\sin\theta,\quad A=\sqrt{A_x^2+A_y^2}

斜抛运动分量

ax=0,ay=−g,v0x=v0cos⁡θ,v0y=v0sin⁡θa_x=0,\quad a_y=-g,\quad v_{0x}=v_0\cos\theta,\quad v_{0y}=v_0\sin\theta
3. 素材与互动建议
  • 小车靠近/远离探测器的运动传感器或手机视频分析片段,能在图像出现前先把速度正负变得可见。
  • 慢动作抛体视频能让一维到二维运动的过渡更具体;轨迹最高点很适合分别观察速度和加速度。
  • 每次表示方式转换后都适合放一个短检查题:文字到图像、图像到方程、方程到物理解释。
4. 课堂题:图像含义
课堂题:斜率与面积

一辆小车沿直线轨道运动。从 t=0t=0 到 t=4 st=4\,\mathrm{s},它的速度从 1 m/s1\,\mathrm{m/s} 线性增加到 5 m/s5\,\mathrm{m/s}。这段时间内位移是多少?

标量、矢量与一维运动

建立运动描述的基础:标量与矢量、位移与路程、速度与速率,以及如何建立参考系。

0. 这一节解释什么真实现象?

当我们描述一个物体的运动,光说"快"或"远"在物理中是不够的。我们需要同时包含大小和方向的量,以及一套一致的测量规则。

本节介绍标量(只有数值)、矢量(数值加方向),以及如何用它们描述一维运动。

标量告诉你"有多少"。矢量告诉你"有多少,向哪边"。
1. 标量与矢量

标量是一个带单位的数值,如 5 kg 或 20 C。矢量既有大小又有方向。在一维中,方向由正负号表示:相对于选定的正方向为正或为负。

  • 标量示例:质量、温度、速率、路程、时间。
  • 一维矢量示例:位移、速度、加速度。
  • 在一维中,矢量是带正负号的数:+3 m/s 表示正方向 3 m/s。

速率是速度的大小

speed=∣v∣\text{speed}=|v|
2. 位移与路程

路程统计走过的每一米,不管方向。位移只关心起点和终点。

如果你向前走 3 m 再向后走 2 m,路程 = 5 m,但位移 = +1 m(假设向前为正)。

位移

Δx=xf−xi\Delta x=x_f-x_i

路程

d=total path lengthd=\text{total path length}
3. 平均速度与平均速率

平均速度 = 位移 / 时间。平均速率 = 总路程 / 时间。两者可能差别很大。

平均速度

vavg=ΔxΔtv_{\mathrm{avg}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}

平均速率

average speed=total distanceΔt\text{average speed}=\frac{\text{total distance}}{\Delta t}
4. 课堂题:往返运动
课堂题:位移与速度

一名运动员向东跑 100 m 用时 20 s,然后掉头向西跑 60 m 用时 15 s。规定向东为正,下列哪项正确?

5. 常见错误
  • 把速度和速率当成同一个东西。
  • 忘记路程可以很大而位移为零。
  • 在标正负号之前没有选定正方向。
  • 算平均速度时用了总路程而不是位移。
6. 本节核心公式

位移

Δx=xf−xi\Delta x=x_f-x_i

平均速度

vavg=ΔxΔtv_{\mathrm{avg}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}

平均速率

average speed=total distanceΔt\text{average speed}=\frac{\text{total distance}}{\Delta t}

由速度求速率

speed=∣v∣\text{speed}=|v|
位置、速度与加速度

通过定义、图像和匀加速模型连接位置、速度、加速度三个核心运动学量。

0. 这一节解释什么真实现象?

如果你知道一个物体每一时刻的位置,能预测它下一刻在哪里吗?答案取决于你对位置、速度和加速度之间关系的理解。

位置告诉你在哪里。速度告诉你往哪走。加速度告诉你速度怎么变。
1. 定义

速度是位置的变化率。加速度是速度的变化率。

瞬时速度

v=dxdtv=\frac{dx}{dt}

瞬时加速度

a=dvdt=d2xdt2a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}
2. 加速度的含义

加速度不等于速度。当加速度和速度同向时,物体加速;当它们反向时,物体减速。

3. 读取运动图像

位置-时间图像的斜率给出速度。速度-时间图像的斜率给出加速度。速度-时间图像下的面积给出位移。

从图像斜率

v=dxdt,a=dvdtv=\frac{dx}{dt},\quad a=\frac{dv}{dt}

从图像面积

Δx=∫v dt,Δv=∫a dt\Delta x=\int v\,dt,\quad \Delta v=\int a\,dt
4. 匀加速模型

当加速度恒定时,我们可以推导出简单的方程来连接位置、速度和时间。

速度-时间关系

v=v0+atv=v_0+at

位置-时间关系

x=x0+v0t+12at2x=x_0+v_0t+\frac12at^2

速度-位移关系

v2=v02+2a(x−x0)v^2=v_0^2+2a(x-x_0)
这些方程只在加速度恒定时成立。使用前一定要先检查这个条件。
5. 课堂题:加速还是减速?
课堂题:符号分析

一个物体的速度为 v = -5 m/s,加速度为 a = -2 m/s^2。该物体在加速还是减速?

6. 自由落体:匀加速的实例

在地球表面附近,下落物体(忽略空气阻力)受到恒定的向下加速度,约 9.8 m/s^2。

自由落体加速度

ay=−g≈−9.8 m/s2(taking up as positive)a_y=-g\approx-9.8\,\text{m/s}^2\quad(\text{taking up as positive})
7. 常见错误
  • 把加速度和速度混为一谈。
  • 以为负加速度就一定在减速。
  • 加速度不恒定时仍然使用匀加速方程。
  • 忘记抛体最高点速度为零但加速度不为零。
8. 本节核心公式

定义

v=dxdt,a=dvdtv=\frac{dx}{dt},\quad a=\frac{dv}{dt}

匀加速方程

v=v0+at,x=x0+v0t+12at2,v2=v02+2aΔxv=v_0+at,\quad x=x_0+v_0t+\frac12at^2,\quad v^2=v_0^2+2a\Delta x

自由落体

a=−ga=-g
参考系与相对运动

为什么同一个运动在不同视角下看起来不同,以及如何在参考系之间转换。

0. 这一节解释什么真实现象?

如果你坐在火车上看另一列火车经过,是它在动还是你在动?两个答案都可以正确,取决于你的参考系。

运动总是相对于某个选定的参考系来测量的。先说清你的参考系。
1. 什么是参考系?

参考系是一个带原点和坐标轴的坐标系,加上测量时间的时钟。

2. 一维相对速度

如果观察者 A 测得物体相对于 A 的速度,而 A 自身相对于 C 运动,则 C 测得物体的速度为两者之和。

一维相对速度

vBC=vBA+vACv_{BC}=v_{BA}+v_{AC}
3. 课堂题:移动人行道
课堂题:参考系

一条移动人行道相对于地面以 2 m/s 前进。一个人在人行道上以 1 m/s 相对于人行道向前走。这个人相对于地面的速度是多少?

4. 常见错误
  • 解题前忘记说明参考系。
  • 混淆相对速度下标的顺序。
  • 不同方向的运动仍把速率当标量相加。
5. 本节核心公式

相对速度

v⃗BC=v⃗BA+v⃗AC\vec v_{BC}=\vec v_{BA}+\vec v_{AC}
Projectile Motion: 斜抛运动与二维运动学

把 Topic 1.5 显性展开:斜抛运动是 AP 物理 1 中“把二维运动分解成两个独立一维运动”的核心例子。

0. 这一节解释什么真实现象?

被抛出的球、喷泉水流或篮球投篮都不是只沿水平或竖直方向运动。斜抛运动给我们一种清晰方法,用来预测物体在恒定竖直加速度下的二维轨迹。

College Board 把它放在 Topic 1.5: Vectors and Motion in Two Dimensions 下面。核心思想是:只要把运动分解成分量,二维运动就可以用一维运动学关系来分析。

斜抛运动不是一套新的神秘公式。它就是把一维运动学用两次:水平方向一次,竖直方向一次。
1. Topic 1.5 下的官方要求
  • 1.5.A: 用选定坐标系和三角函数关系把矢量分解成互相垂直的分量。
  • 1.5.B: 描述物体在二维空间中的运动。
  • Essential Knowledge 1.5.B.1: 若把运动分解成分量,二维运动可以用一维运动学关系分析。
  • Essential Knowledge 1.5.B.2: 斜抛运动是二维运动的特殊情况:一个方向加速度为零,另一个方向加速度恒定且非零。
2. 分量模型

物体离手后,若忽略空气阻力,唯一加速度来自重力。如果水平方向为 xx,竖直方向为 yy,并规定向上为正,则 ax=0a_x=0 且 ay=−ga_y=-g。

水平方向做匀速运动。竖直方向做匀加速运动。时间是连接两个方向的共同变量。

初速度分量

v0x=v0cos⁡θ,v0y=v0sin⁡θv_{0x}=v_0\cos\theta,\quad v_{0y}=v_0\sin\theta

水平运动

ax=0,vx=v0x,x=x0+v0xta_x=0,\quad v_x=v_{0x},\quad x=x_0+v_{0x}t

竖直运动

ay=−g,vy=v0y−gt,y=y0+v0yt−12gt2a_y=-g,\quad v_y=v_{0y}-gt,\quad y=y_0+v_{0y}t-\frac12gt^2
3. 典型题型
  • 水平抛出:物体以 v0y=0v_{0y}=0 离开桌面并落到较低位置。
  • 地面斜抛:求飞行时间、最大高度、射程或落地速度。
  • 图像转换:绘制或解释 xx-tt、vxv_x-tt、axa_x-tt、yy-tt、vyv_y-tt 和 aya_y-tt 图像。
  • 实验设计:用测得的高度、水平距离和时间反推初速度分量。
4. 课堂题:水平抛出
课堂题:分量独立性

一个小球以 3.0 m/s3.0\,\mathrm{m/s} 的水平速度滚下桌边,经过 0.80 s0.80\,\mathrm{s} 落地。忽略空气阻力,它落地点离桌边的水平距离是多少?

5. 常见错误
  • 以为物体离手后仍有水平加速度。
  • 在竖直方程中误用总初速度,而不是 v0yv_{0y}。
  • 说最高点速度为零。最高点只有 vyv_y 为零;vxv_x 仍不为零,除非是竖直上抛。
  • 还没找到或使用共同时间变量,就急着先求射程。
速度-时间图像:方向与速率

一份用于读懂速度图像的学习指南,帮助区分速度数值、运动方向和速率。

0. 这一节解释什么真实现象?

一个小球沿斜面向下滚时,速率可能越来越大,但速度数值却越来越负。在速度-时间图像中,速度的正负包含方向,所以一条向下走的线,也可能表示物体在负方向上越来越快。

一定要区分三个概念:速度数值、运动方向和速率。
1. 先选正方向

速度-时间图像必须先选定正方向才有意义。比如斜面上如果规定向上为正,那么向下运动的速度就是负值。

速度符号

v>0⇒motion in the positive direction,v<0⇒motion in the negative directionv>0\Rightarrow \text{motion in the positive direction},\quad v<0\Rightarrow \text{motion in the negative direction}

速率是速度大小

speed=∣v∣\text{speed}=|v|
2. 斜率表示加速度,不是直接表示速率

速度-时间图像的斜率是加速度。如果两个球在同一个无摩擦斜面上运动,它们沿斜面的加速度相同,所以速度-时间图像应该互相平行。

图像斜率

a=dvdta=\frac{dv}{dt}

同一斜面上的加速度相同

a1=a2=−gsin⁡θif uphill is positivea_1=a_2=-g\sin\theta\quad \text{if uphill is positive}
3. 课堂题:斜面上的两个小球
课堂题:读取速度符号

小球 1 以初速度 +v0+v_0 沿斜面向上运动;小球 2 从同一斜面顶端由静止释放。规定沿斜面向上为正。下列哪一个描述最符合两个小球的速度-时间图像?

4. 常见错误
  • 把 velocity 和 speed 混为一谈。
  • 以为速度图像下降就一定表示物体在减速。
  • 忘记负速度的大小也可以增加。
  • 以为运动方向相反就意味着加速度方向相反。

重点公式

速度与加速度

v=dxdt,a=dvdt=d2xdt2v=\frac{dx}{dt},\quad a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}

匀加速模型

v=v0+at,x=x0+v0t+12at2v=v_0+at,\quad x=x_0+v_0t+\frac12at^2

图像意义

Δx=∫v dt,Δv=∫a dt\Delta x=\int v\,dt,\quad \Delta v=\int a\,dt

斜抛初速度分量

v0x=v0cos⁡θ,v0y=v0sin⁡θv_{0x}=v_0\cos\theta,\quad v_{0y}=v_0\sin\theta

斜抛加速度

ax=0,ay=−ga_x=0,\quad a_y=-g

图像与示意图

tv
运动图像斜率和面积把位置、速度、加速度图像连接起来。
vₓvᵧvₓg
斜抛运动分量水平方向速度保持不变,竖直方向速度在重力作用下改变。

AP 单元结构、知识点名称和考试占比参考 College Board 官方课程与考试说明。重点整理、公式、中文翻译和示意图由口袋宇宙制作。